Question

如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=6+6，则AB=    ．

Answer

作辅助圆A，由已知证明△ABC为等腰直角三角形，△ACD为等边三角形，作CF⊥BD，将△BCD分为两个直角三角形，解直角三角形，列方程求解．
【解析】
法一：以点A为圆心，AB为半径画圆，作CF⊥BD，垂足为F，
∵AB=AC=AD，∴C、D两点都在⊙A上，
∵E是CB的中点，AE=EC，由垂径定理得，
AE=EC=BE，AE⊥BC，
∴∠BAC=90°，
∠BDC=∠BAC=45°，
又∵∠BAC=3∠DBC，
∴∠DBC=30°，
∠CAD=2∠DBC=60°，
△ACD为等边三角形，
设AB=AC=CD=x，
在Rt△ABC中，BC=x，
在Rt△BCF中，∠FBC=30°，BF=BC=x，
同理，DF=x，
由DF+BF=BD，得x+x=6+6
解得x=12，即AB=12．

法二：作CF⊥BD，垂足为F，
∵AB=AC，E是CB的中点，AE=EC
∴AE=BE=EC，AE⊥BC，
∴∠BAE=∠ABE=45°，∠ACE=∠EAC=45°，
∴∠BAC=90°，
又∵∠BAC=3∠DBC，
∴∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ADB=15°，
∴∠BAD=150°，
∴∠CAD=60°，
△ACD为等边三角形，
设AB=AC=CD=x，
在Rt△ABC中，BC=x，
在Rt△BCF中，∠FBC=30°，BF=BC=x，
同理，DF=x，
由DF+BF=BD，得x+x=6+6
解得x=12，即AB=12．