Question

如图，梯形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC与BD相交于点E，在不添加任何辅助线的情况下：
（1）图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中一对全等三角形进行证明；
（2）若BD平分∠ADC，请找出图中与△ABE相似的所有三角形．

Answer

（1）已知了BC∥AD，可得出的条件有：弧AB=弧CD，弧AC=弧BD；即AB=CD、AC=BD、∠BAC=∠CDB、∠BCA=∠CBD；再根据AD=AD、∠AEB=∠CED，可得出的全等三角形有：①△ADB≌△DAO（SSS）；②△ABE≌△DCE（AAS）；③△ABC≌△DCB（AAS）．
（2）BD平分∠ADC，那么弧AB=弧BC=弧CD．可根据圆周角定理得出的相等角进行判断．
【解析】
（1）图中共有三对全等三角形：
①△ADB≌△DAC，②△ABE≌△DCE，③△ABC≌△DCB；
选择①△ADB≌△DAC证明：
在⊙O中，∠ABD=∠DCA，∠BCA=∠BDA，
∵BC∥AD，
∴∠BCA=∠CAD．
∴∠CAD=∠BDA．
在△ADB与△DAC中，
∵，
∴△ADB≌△DAC．

（2）图中与△ABE相似的三角形有：△DCE，△DBA，△ACD．