Question

如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D点，已知，BD=6，CD=4，则高AD的长为    ．

Answer

如图，过B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F，由∠BAC=45°可以得到BE=AE，再根据已知条件可以证明△AFE≌△BCE，可以得到AF=BC=10，而∠FBD=∠DAC，又∠BDF=∠ADC=90°，由此可以证明△BDF∽△ADC，所以FD：DC=BD：AD，设FD长为x，则可建立关于x的方程，解方程即可求出FD，AD的长．
【解析】
如图，过B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F
∵∠BAC=45°
∴BE=AE，
∵∠C+∠EBC=90°，∠C+∠EAF=90°，
∴∠EAF=∠EBC，
在△AFE与△BCE中，
∵，
∴△AFE≌△BCE（ASA）
∴AF=BC=BD+DC=10，∠FBD=∠DAC，又∠BDF=∠ADC=90°
∴△BDF∽△ADC
∴FD：DC=BD：AD
设FD长为x
即x：4=6：（x+10）
解得x=2
即FD=2
∴AD=AF+FD=10+2=12．
答：AD长为12．
故答案为：12．