Question

已知x₁、x₂是一元二次方程2x²-2x+m+1=0的两个实根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果m满足不等式7+4x₁x₂＞x₁²+x₂²，且m为整数．求m的值．

Answer

（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2-4ac≥0，从而求出实数m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系，不等式7+4x1x2＞x12+x22，即（x1+x2）2-6x1x2-7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式，即可求得m的值．
【解析】
（1）∵a=2，b=-2，c=m+1．
∴△=（-2）2-4×2×（m+1）=-4-8m．
当-4-8m≥0，即m≤-时．方程有两个实数根．

（2）整理不等式7+4x1x2＞x12+x22，得
（x1+x2）2-6x1x2-7＜0．
由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．
代入整理后的不等式得1-3（m+1）-7＜0，解得m＞-3．
又∵m≤-，且m为整数．
∴m的值为-2，-1．