Question

已知：关于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²=0的两根x₁，x₂满足x₁²-x₂²=0，双曲线（x＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C（如图），求S_△OBC．

Answer

首先由一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，然后由x12-x22=0得出x1-x2=0或x1+x2=0，再运用一元二次方程根与系数的关系求出k的值，由k的几何意义，可知S△OCA=|k|．如果过D作DE⊥OA于E，则S△ODE=|k|．易证△ODE∽△OBA，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出S△OBA，最后由S△OBC=S△OBA-S△OCA，得出结果．
【解析】
∵x2+（2k-1）x+k2=0有两根，
∴△=（2k-1）2-4k2≥0，
即．
由x12-x22=0得：（x1-x2）（x1+x2）=0．
当x1+x2=0时，-（2k-1）=0，解得，不合题意，舍去；
当x1-x2=0时，x1=x2，△=（2k-1）2-4k2=0，
解得：符合题意．
∵y=，
∴双曲线的解析式为：．
过D作DE⊥OA于E，则．
∵DE⊥OA，BA⊥OA，
∴DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，
∴，∴，
∴．