Question

如图，在△ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．现有动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动；动点Q从点C出发，沿线段CB向点B运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，运动时间为t秒，求：
（1）当t为何值时，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半；
（2）在第（1）问的前提下，P，Q两点之间的距离是多少？

Answer

（1）作辅助线，分别过C，Q作CG⊥AB，QH⊥AB于G，H，在Rt△BCG中，已知BC，∠B的值，可求出CG的值，代入S△ABC进行求解，根据AP和CQ的值，可将BP，BQ的值表示出来，在Rt△BQH中，根据三角函数可将QH的值求出，代入S△PBQ=BP•QH，再根据S△PBQ与S△ABC的关系，从而可求出时间t；
（2）当t=2时，可将BP，BQ的值求出，在Rt△BHQ中，根据三角函数可将BH，HQ的值求出，进而可将PH的值求出，在Rt△PQH中，根据勾股定理可求出PQ的值，当t=12时，同理可将PQ的值求出．
【解析】
（1）分别过C，Q作CG⊥AB，QH⊥AB于G，H，
∵BC=16，∠B=60°，
∴CG=BC•sin60°=，
又∵AB=24，
∴S△ABC=AB•CG=96，
又∵AP=4t，CQ=2t，
∴BP=24-4t，BQ=16-2t（0＜t＜8），
∴QH=BQ•sin60°=（8-t），
∴S△PBQ=BP•QH=×（24-4t）×（8-t），
又∵S△PBQ=S△ABC，
∴×（24-4t）×（8-t）=×96，
∴t2-14t+24=0，
∴t1=2，t2=12（舍去），
∴当t为2秒时，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半．

（2）当t=2时，HQ=6，BQ=12，BP=16，
∴BH=BQ=6，PH=16-6=10，
又∵在Rt△PQH中，PQ2=HQ2+PH2，
∴PQ=．