Question

如图，等腰△ABC中，AC=BC，CD是底边上的高，∠A=30°．
（1）CD与AB有什么数量关系？请说明理由；
（2）过点D作DD₁⊥BC，垂足为D₁；D₁D₂⊥AB，垂足为D₂；D₂D₃⊥BC，垂足为D₃；D₃D₄⊥AB，垂足为D₄；…；D_2n+1D_2n⊥AB，垂足为D_2n；D_2n+1D_2n⊥BC，垂足为D_2n+1（n为非零自然数）．若CD=a，请用含a的代数式表示下表中线段的长度（请将结果直接填入表中）；

线段	D1D2	D3D4	D5D6	…	D2n-1 D2n
长度				…

（3）某工业园区一个车间的人字形屋架为（2）中的图形，跨度AB为16米，CD是该屋架的主柱，DD₁，D₁D₂，D₂D₃…D_2n+1D_2n为辅柱．若整个屋架有18根辅柱，则最短一根辅柱的长度约为多少米？（结果精确到0.1米）

Answer

（1）根据30°的正切值易得CD与AD之间的关系，而根据等腰三角形三线合一的性质可得AD等于BA的一半；
（2）易得∠DCB=60°，那么可根据60°的正弦值得到DD1=a；同理可得D1D2=（）2a=a，按规律可得D3D4=（）4a=a，D5D6=（）6a=a，D2n-1D2n=（）2na=（）na；
（3）易得DB=8，利用（2）得到的结论，可算出D7D8的长度，利用30°的余弦值可求得所求线段的长度．
【解析】
（1）∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD=AB．
在Rt△ACD中，=tan30°，∴CD=ADtan30°=AB×AB．

（2）填表依次为：（或或），
（或或），（或）

（3）∵整个屋架有18根辅柱，
∴右侧最短一根辅柱为D8D9，倒数第二根为D7D8，
D8D9=D7D8cos30°=（）4a×cos30°=（）4×AB×cos30°
=（）4××16×cos30°=≈1.3（米）．
答：最短一根辅柱的长度约为1.3米．