Question

如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60°方向上，港口D在港口A北偏西60°方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30°的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B处测得港口C在B处的南偏东75°方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．

Answer

本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过构造出与实际问题有关的直角三角形，利用题中已知角和边，借助于三角函数来求解．
【解析】
连接AC、AD、BC、BD，延长AT，
过B作BT⊥AT于T，AC与BT交于点E．
过B作BP⊥AC于点P．
由已知得∠BAD=90°，∠BAC=30°，AB=3×25=75（海里），
在△BEP和△AET中，∠BPE=∠ATE=90°，∠AET=∠BEP，
∴∠EBP=∠EAT=30度．
∵∠BAT=60°，∴∠BAP=30°，从而BP=×75=37.5（海里）．
∵港口C在B处的南偏东75°方向上，∴∠CBP=45度．
在等腰Rt△CBP中，BC=BP=（海里），
∴BC＜AB．
∵△BAD是Rt△，∴BD＞AB．
综上，可得港口C离B点位置最近．∴此船应转向南偏东75°方向上直接驶向港口C．
设由B驶向港口C船的速度为每小时x海里，
则据题意应有（60÷5×4-8）＜75，
解不等式，得：x＞20（海里）．
答：此船应转向沿南偏东75°的方向向港口C航行，且航行速度至少不低于每小时20海里，才能保证船在抵达港口前不会沉没．