Question

如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，点E在边DC上，且DE=4cm．动点P从点A开始沿着A⇒B⇒C⇒E的路线以2cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动．若点P、Q同时从点A同时出发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm²），求S与t的函数关系式．

Answer

由勾股定理求得AE=5，由于点P可以在AB，BC，CE上，因此分三种情况讨论：1、0＜t≤3，2、3＜t≤，3、＜t≤5，
【解析】
在Rt△ADE中，AE=．（1分）
①当0＜t≤3时，如图1．（2分）
过点Q作QM⊥AB于M，连接QP．
∵AB∥CD，∴∠QAM=∠DEA，
又∵∠AMQ=∠D=90°，∴△AQM∽△EAD．
∴，∴．（3分）
S=AP•QM=×2t×t=t2．（4分）

②当3＜t≤时，如图2．（5分）
在Rt△ADE中，AE=
过点Q作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N，连接QB、QP．
∵AB∥CD，∴∠QAM=∠DEA，
又∵∠AMQ=∠ADE=90°，∴△AQM∽△EAD．
∴，，
∴．（6分）
AM==t，∴QN=BM=6-AM=6-t．（7分）
∴S△QAB=AB•QM=×6×t=t
S△QBP=BP•QN=（2t-6）（6-t）=-t2+t-18
∴S=S△QAB+S△QBP=t+（-t2+t-18）=-t2+t-18（8分）

③当＜t≤5时．
方法1：过点Q作QH⊥CD于H，连接QP．如图3．
由题意得QH∥AD，∴△EHQ∽△EDA，∴
∴QH==（5-t）（10分）
∴S梯ABCE=（EC+AB）•BC=（2+6）×3=12
S△EQP=EP•QH=（11-2t）×（5-t）=t2-t+
∴S=S梯ABCE-S△EQP=12-t2+t-=-t2+t-．（11分）