Question

红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：

时间t（天）	1	3	6	10	36	…
日销售量m（件）	94	90	84	76	24	…

未来40天内，前20天每天的价格y₁（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y₁=t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y₂（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y₂=-t+40（21≤t≤40且t为整数）．
下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

Answer

（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围．
【解析】
（1）设一次函数为m=kt+b，
将和代入一次函数m=kt+b中，
有，
∴．
∴m=-2t+96．
经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，
故所求函数解析式为m=-2t+96；

（2）设前20天日销售利润为p1元，后20天日销售利润为p2元．
由p1=（-2t+96）（t+25-20）
=（-2t+96）（t+5）
=-t2+14t+480
=-（t-14）2+578，
∵1≤t≤20，
∴当t=14时，p1有最大值578（元）．
由p2=（-2t+96）（-t+40-20）
=（-2t+96）（-t+20）
=t2-88t+1920
=（t-44）2-16．
∵21≤t≤40，此函数对称轴是t=44，
∴函数p2在21≤t≤40上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．
∴当t=21时，p2有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元）．
∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元；

（3）p1=（-2t+96）（t+25-20-a）=-t2+（14+2a）t+480-96a
对称轴为t==14+2a．
∵t取1≤t≤20之内的整数，
∴对称轴14+2a满足20≤14+2a，p1也是随整数t增加而增加．
∴3≤a＜4．