Question

如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=．设直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．

Answer

（1）设直线x=4与x轴的交点为F，易证得△ABC∽△AFE，根据相似三角形得到的比例线段即可求出EF的长，也就得到了E点的坐标；可用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将E点坐标代入其中进行判断即可；
（2）过M作y轴的平行线，交直线CN于P，交x轴于Q；根据抛物线的解析式可求出N点的坐标，进而可求出直线CN的解析式，设出Q点的坐标，即可根据抛物线和直线的解析式求出MP的长；以MP为底，C、N的横坐标差的绝对值为高即可得到△CMN的面积，由此可求出关于△CMN的面积与Q点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可得到△CMN的最大面积．
【解析】
（1）设抛物线的函数关系式为：y=a（x-4）2+m，
∵抛物线过C与原点O，
∴，
解得：，
∴所求抛物线的函数关系式为：y=-（x-4）2+，
设直线AC的函数关系式为y=kx+b，
，
解得：．
∴直线AC的函数关系式为：y=x+，
∴点E的坐标为（4，）
∴此抛物线过E点．
（2）过M作MQ∥y轴，交x轴于Q，交直线CN于P；
易知：N（8，0），C（2，2）；
可得直线CN的解析式为y=-x+；
设点Q的坐标为（m，0），则P（m，-m+），M（m，-m2+m）；
∴MP=-m2+m-（-m+）=-m2+m-；
∴S=S△CMN=S△CPM+S△MNP=MP•|xM-xC|+MP•|xN-xM|=MP•|xN-xC|=×（-m2+m-）×6=-m2+5m-8；
即S=-（m-5）2+（2＜m＜8）；
∵2＜5＜8，
∴当m=5时，Smax=；
即△CMN的最大面积为．