Question

如图①，抛物线经过点A（12，0）、B（-4，0）、C（0，-12）．顶点为M，过点A的直线y=kx-4交y轴于点N．
（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；
（2）试判断△AMN的形状，并说明理由；
（3）将AN所在的直线l向上平移．平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E（如图②）．当直线l平移时（包括l与直线AN重合），在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）题是典型的待定系数法求二次函数解析式，利用待定系数法很容易求解；
（2）题要想证明等腰直角三角形，需要证明等腰，需要证明直角，而证明等腰三角形和证明直角均需要利用坐标求出MN和AN长，并利用勾股定理逆定理（或全等）完成证明；
（3）易求得直线AN的解析式，由于直线l与直线AN平行，可根据直线AN的斜率设出直线l的解析式，根据解析式可得OD=3OE；然后分两种情况考虑：
①点E是直角顶点，1）很显然点M符合点P的要求；
2）过P作PQ⊥y轴于Q，由于△PDE是等腰直角三角形，易证得Rt△ODE≌Rt△QEP，可得到OE=PQ=4，而OD=3OE，即可得到OD的长，也就得到了EQ、OQ的长，进而可求得点P的坐标；
②点D是直角顶点，可设抛物线对称轴与x轴的交点为K，解法与（3）①相同．
【解析】
（1）设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c；
∵抛物线过点C（0，-12），
∴c=-12；（1分）
又∵它过点A（12，0）和点B（-4，0），
∴，
解得；
∴抛物线的函数关系式为y=x2-2x-12，（3分）
抛物线的对称轴为x=4．（5分）

（2）解法一：
∵在y=kx-4中，当x=0时，y=-4，
∴y=kx-4与y轴的交点N（0，-4）；（6分）
∵y=x2-2x-12=（x-4）2-16，
∴顶点M（4，-16）；（7分）
∵AM2=（12-4）2+162=320，
AN2=122+42=160，
MN2=42+（16-4）2=160，
∴AN2+MN2=160+160=320=AM2，
AN=MN；（9分）
∴△AMN是等腰直角三角形．（10分）
解法二：
过点M作MF⊥y轴于点F，则有
MF=4，NF=16-4=12，OA=12，ON=4；（6分）
∴MF=ON，NF=OA，（7分）
又∵∠AON=∠MFN=90°，
∴△AON≌△NFM；（8分）
∴∠MNF=∠NAO，AN=MN；（9分）
∵∠NAO+∠ANO=90°，即∠MNF+∠ANO=90°，
∴∠MNA=90；
∴△AMN是等腰直角三角形．（10分）

（3）存在，点P的坐标分别为：
（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）（14分）
参考解答如下：
∵y=kx-4过点A（12，0），
∴k=；
直线l与y=x-4平行，
设直线l的解析式为y=x+b；
则它与x轴的交点D（-3b，0），与y轴交点E（0，b）；
∴OD=3OE；
设对称轴与x轴的交点为K；
（Ⅰ）以点E为直角顶点如图；
①根据题意，点M（4，-16）符合要求；
②过P作PQ⊥y轴，
当△PDE为等腰直角三角形时，
有Rt△ODE≌Rt△QEP，
∴OE=PQ=4，QE=OD；
∵在Rt△ODE中，OD=3OE，
∴OD=12，QE=12，
∴OQ=8，
∴点P的坐标为（4，-8）；
（Ⅱ）以点D为直角顶点；
同理在图①中得到P（4，6），
在图②中可得P（4，-3）；
综上所得：满足条件的P的坐标为：
（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）．