Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）求四边形MEFN面积的最大值；
（3）试判断四边形MEFN能否为正方形？若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

Answer

（1）本题的关键是求梯形的高，可通过梯形两底的差和腰的长求出梯形的高，然后根据梯形的面积公式即可得出梯形ABCD的面积．
（2）可用二次函数来求解．可设四边形MEFN（其实是矩形）的面积为y，AE=BF=x，那么可根据AB的长表示出EF，然后根据相似三角形△AEM和△AGD得出的关于EM、GD、AE、AG的比例关系式用x表示出ME （也可用∠A的正切函数来求），然后根据矩形的面积公式即可得出y、x的函数关系式，根据函数的性质即可求出y的最大值也就是矩形MEFN的最大面积．
（3）若四边形MEFN为正方形，那么ME=EF，可据此确定x的值，然后将x的值代入（2）的函数式中即可求出正方形MEFN的面积．
【解析】
（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．
∵AB∥CD，
∴DG=CH，DG∥CH．
∴四边形DGHC为矩形，GH=CD=1．
∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，
∴△AGD≌△BHC（HL）．
∴AG=BH=．
∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，
∴DG=4．
∴S梯形ABCD==16．

（2）∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴ME=NF，ME∥NF．
∴四边形MEFN为矩形．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
∵ME=NF，∠MEA=∠NFB=90°，
∴△MEA≌△NFB（AAS）．
∴AE=BF．
设AE=x，则EF=7-2x．
∵∠A=∠A（公共角），∠MEA=∠DGA=90°，
∴△MEA∽△DGA．
∴．
∴ME=．
∴S矩形MEFN=ME•EF=x（7-2x）=-（x-）2+．
当x=时，ME=＜4，
∴四边形MEFN面积的最大值为．

（3）能．
由（2）可知，设AE=x，则EF=7-2x，ME=x．
若四边形MEFN为正方形，则ME=EF．
即=7-2x．
解得x=．
∴EF=7-2x=7-2×=＜4．
∴四边形MEFN能为正方形，其面积为S正方形MEFN=（）2=．