Question

在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示．已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（-3，1）．
（1）求点B的坐标．
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式．
（3）设点B关于抛物线的对称轴ℓ的对称点为B_l，连接AB₁，求tan∠AB₁B的值．

Answer

（1）作辅助线，构造直角，在直角三角形中解题，证三角形全等，从而求得B点坐标；
（2）求解析式已知两定点，用待定系数求出解析式；
（3）写出对称轴方程，由点关于直线对称，求出对称点，从而可求tan∠AB1B的值．
【解析】
（1）作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D，（2分）
则∠ACO=∠ODB=90°．
∴∠AOC+∠OAC=90°．
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∴∠OAC=∠BOD．
又∵AO=BO，
∴△ACO≌△ODB．（5分）
∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴点B的坐标为（1，3）．（7分）

（2）抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx．
将A（-3，1），B（1，3）代入，
得，
解得a=，b=
故所求抛物线的解析式为y=x2+x．（10分）

（3）抛物线y=x2+x的对称轴l的方程是x=-=-．
点B关于抛物线的对称轴l的对称点为B1（，3）．（12分）
在△AB1B中，作AC1⊥BBl于C1，
则C1（-3，3），BlC1=，AC1=2．
∴tan∠AB1B=．（14分）