Question

如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连接DE，DF．
（1）求证：△BEF∽△CEG；
（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由；
（3）设BE=x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

Answer

（1）有AB∥DG，即可直接得到两个三角形相似．
（2）两个三角形的周长之和是定值．利用勾股定理可求出BM=3，又因为Rt△BEF∽Rt△BAM，令BE=x，那么根据相似比，可用含x的代数式分别表示EF，BF，同样在△CEG中，令CE=y，可用含y的代数式表示CG，EG，又x+y=10，那么能求出两三角形的周长和是（x+y）=24．
（3）利用相似比、勾股定理可得EF=x，CG=（10-x），那么利用三角形的面积公式，可得到y与x的关系式，再根据二次函数求最大值来求即可．
（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DG，
所以∠B=∠GCE，∠G=∠BFE，
所以△BEF∽△CEG．

（2）【解析】
△BEF与△CEG的周长之和为定值．
理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．
所以FH=CG，FG=CH，
因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH，
∵∠B=∠B，∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH，
∴
由BC=10，AB=5，AM=4，
可得CH=8，
∴BH=6，
所以BC+CH+BH=24；
理由二：由AB=5，AM=4，可知：
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：EF=BE，BF=BE，GE=EC，GC=CE，
所以，△BEF的周长是BE，△ECG的周长是CE，
又BE+CE=10，因此△BEF与△CEG的周长之和是24．

（3）【解析】
设BE=x，则EF=x，GC=（10-x），
所以y=EF•DG=•x[（10-x）+5]=-x2+x，
配方得：y=-（x-）2+．
所以，当x=时，y有最大值．
最大值为．