Question

如图1，设抛物线y=x²-交x轴于A，B两点，顶点为D．以BA为直径作半圆，圆心为M，半圆交y轴负半轴于C．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）将△ACB绕圆心M顺时针旋转180°，得到三角形APB，如图2．求点P的坐标；
（3）有一动点Q在线段AB上运动，△QCD的周长在不断变化时是否存在最小值？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据抛物线的对称轴公式即可得出所求的结果．
（2）可先根据抛物线的解析式求出A、B、C三点的坐标，过P作PE⊥x轴于E，根据旋转的性质不难得出BE=OA，PE=OC，由此可求出P点的坐标．
（3）本题的关键是找出Q点的位置，取C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴的交点就是Q点．可先求出直线C′D的函数解析式，进而可得出Q点的坐标．
【解析】
（1）由题意可知：抛物线的对称轴为x=1．

（2）过P作PE⊥x轴于E，则有△PEB≌△OAC
易知A（-1，0）、B（3，0）、
C（0，-）．
∴OA=BE=1，OB=AE=3，EP=OC=
∴OE=OB-BE=2
即P点坐标为（2，）．

（3）设C关于x轴的对称点为C′（0，），
已知抛物线顶点D（1，-1）．
设直线C′D的解析式为y=kx+，则有：
k+=-1，k=-1-
因此直线CD的解析式为y=（-1-）x+．
令y=0，则x=
∴Q点坐标为（，0）．