Question

已知圆P的圆心在反比例函数y=（k＞1）图象上，并与x轴相交于A、B两点．且始终与y轴相切于定点C（0，1）．
（1）求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式；
（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形．

Answer

（1）连接PC、PA、PB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H．易得PC⊥y轴，进而可得P的坐标，在Rt△APH中，根据勾股定理可得AB点坐标关于k的表达式，即可得答案；
（2）由（1）知抛物线顶点D坐标为（k，1-k2）；故DH=k2-1．若四边形ADBP为菱形．则必有PH=DH；代入k，易得k=时，PH=DH．故可得答案．

【解析】
（1）连接PC、PA、PB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H．（1分）
∵⊙P与y轴相切于点C（0，1），
∴PC⊥y轴．
∵P点在反比例函数的图象上，
∴P点坐标为（k，1）．（2分）
∴PA=PC=k．
在Rt△APH中，AH==，
∴OA=OH-AH=k-．
∴A（k-，0）．（3分）
∵由⊙P交x轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知，PH垂直平分AB．
∴OB=OA+2AH=k-+2=k+，
∴B（k+，0）．（4分）
故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k．
可设该抛物线解析式为y=a（x-k）2+h．（5分）
又∵抛物线过C（0，1），B（k+，0），
∴得：
解得a=1，h=1-k2．（7分）
∴抛物线解析式为y=（x-k）2+1-k2．（8分）

（2）由（1）知抛物线顶点D坐标为（k，1-k2）
∴DH=k2-1．
若四边形ADBP为菱形．则必有PH=DH．（10分）
∵PH=1，
∴k2-1=1．
又∵k＞1，
∴k=（11分）
∴当k取时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形．（12分）