Question

已知矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图）．
（1）写出A，B，C，D及AD的中点E的坐标；
（2）求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的解析式；
（3）求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；
（4）△PEB的面积S_△PEB与△PBC的面积S_△PBC具有怎样的关系？证明你的结论．

Answer

（1）已知AB=2就可以得到A，B的坐标，C、D与A、B的纵坐标分别相等，而已知AD=4就可以求出C、D、E的横坐标．
（2）已知抛物线的顶点，就可以设函数的一般形式，设顶点式，然后把C点的坐标，就可以求出函数的解析式．
（3）求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标，可以先求出直线BD的解析式，然后解由BD以及抛物线的解析式组成的方程组．
（4）△PBC中BC已知，BC边上的高就是P点的纵坐标的绝对值，因而面积可以很容易得到．
过P，E分别作PP′⊥BC，EE′⊥BC，垂足分别为P′，E′，设抛物线与x轴左边的交点是F，△PEB的面积就是△EFP与△EFB的面积的和．
【解析】
（1）A（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）．

（2）设抛物线的解析式为：y=a（x-2）2+1
∵抛物线经过点B（0，-1）
∴a（0-2）2+1=-1
解得a=-∴抛物线的解析式为：y=-（x-2）2+1
经验证，抛物线y=-（x-2）2+1经过点C（4，-1）

（3）直线BD的解析式为：y=x-1
解方程组
得点P的坐标：P（3，）．

（4）S△PEB=S△PBC=×4×=3
过P，E分别作PP'⊥BC，EE'⊥BC，垂足分别为P'，E'
S△PEB=×2×2+×（+2）×1-×3×
∴S△PEB=S△PBC