Question

已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1）、B（0，3），第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y=ax²+bx+c经过A、D（3，-2）、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式及点P的坐标；
（3）设M是y轴上的一个动点，求PM+CM的取值范围．

Answer

（1）根据第三个顶点C在x轴的正半轴上，利用勾股定理求出OC的长，进而求出C点坐标，应用待定系数法即可求出直线BC的解析式；
（2）由于抛物线解析式关于y轴对称，可知一次项系数为0，利用待定系数法，设出一般式，将A（0，1），D（3，-2）代入解析式即可求出二次函数解析式；根据轴对称定义和角平分线的定义，利用特殊角判断出则符合条件的点P就是直线BC与抛物线y=-x2+1的交点．
（3）根据轴对称定义和性质，作出C关于y轴的对称点C′，将求PM+CM的取值范围转化为求PM+C′M的取值范围．
【解析】
（1）∵A（0，1），B（0，3），
∴AB=2，
∵△ABC是等腰三角形，且点C在x轴的正半轴上，
∴AC=AB=2，
∴OC==．
∴C（，0）．（2分）
设直线BC的解析式为y=kx+3，
∴k+3=0，
∴k=-．
∴直线BC的解析式为y=-x+3．（4分）

（2）∵抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，
∴b=0．（5分）
又抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，1），D（3，-2）两点．
∴
解得
∴抛物线的解析式是y=-x2+1．（7分）
在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，易得∠ACO=30°．
在Rt△BOC中，OB=3，OC=，易得∠BCO=60°．
∴CA是∠BCO的角平分线．
∴直线BC与x轴关于直线AC对称．
点P关于直线AC的对称点在x轴上，则符合条件的点P就是直线BC与抛物线y=-x2+1的交点．（8分）
∵点P在直线BC：y=-x+3上，故设点P的坐标是（x，-x+3）．
又∵点P（x，-x+3）在抛物线y=-x2+1上，
∴-x+3=-x2+1．
解得x1=，x2=2．
故所求的点P的坐标是P1（，0），P2（2，-3）．（10分）

（3）要求PM+CM的取值范围，可先求PM+C′M的最小值．
（I）当点P的坐标是OC=时，点P与点C重合，
故PM+CM=2CM．
显然CM的最小值就是点C到y轴的距离为，
∵点M是y轴上的动点，
∴PM+CM无最大值，
∴PM+CM≥2．（13分）
（II）当点P的坐标是（2，-3）时，由点C关于y轴的对称点C′（-，0），
故只要求PM+MC'的最小值，显然线段PC'最短．易求得PC'=6．
∴PM+CM的最小值是6．
同理PM+CM没有最大值，
∴PM+CM的取值范围是PM+CM≥6．
综上所述，当点P的坐标是（，0）时，PM+CM≥2，
当点P的坐标是（2，-3）时，PM+CM≥6．（15分）