Question

在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（-3，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）设抛物线的对称轴为直线l，P是直线l上的一点，且△PAB的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标．

Answer

（1）作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴，垂足为D，易证△ACO≌△ODB，就可以求出OD，BD的长，可以得到B点的坐标．
（2）已知A，O，B三点的坐标，利用待定系数法，就可以求出抛物线的解析式．
（3）△PAB的面积等于△AOB的面积，则P点到AB的距离等于O到AB的距离，即△AOB AB边上的高线长．则过点O作AB的平行线，与抛物线的对称轴的交点，以及这点关于F的对称点就是所求的点．
【解析】
（1）作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴，垂足为D．
则∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90度．
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD．（1分）
又∵AO=BO，
∴△ACO≌△ODB．（2分）
∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴点B的坐标为（1，3）．（4分）

（2）因抛物线过原点，
故设所求抛物线的解析式为：y=ax2+bx．
将A（-3，1），B（1，3）两点代入得，，
解得；．（6分）
故所求抛物线的解析式为：．（8分）

（3）设直线AB的方程为y=kx+b1，那么有：，
解得．
故直线AB的方程为：．
∴．（9分）
抛物线的对称轴l的方程是：，
，
解得．
∴F点坐标为．（10分）
∵l∥y轴，△PAB的面积等于△ABO的面积，
∴P点到直线AB的距离等于O点到AB的距离．
即OG=P1H=P2M（P点有两种情况）．
则过原点O与AB平行的直线的解析式是y=x．
函数y=x与抛物线的交点坐标是即，
而P1关于F点的对称点．也是满足条件的点．