Question

如图1，直线y=-x+1与x轴、y轴分别相交于点C、D，一个含45°角的直角三角板的锐角顶点A在线段CD上滑动，滑动过程中三角板的斜边始终经过坐标原点，∠A的另一边与轴的正半轴相交于点B．
（1）试探索△AOB能否构成以AO、AB为腰的等腰三角形？若能，请求出点B的坐标；若不能，说说明理由；
（2）若将题中“直线y=-x+1”、“∠A的另一边与轴的正半轴相交于点B”分别改为“直线y=-x+t（t＞0）”、“∠A的另一边与轴的负半轴相交于点B”（如图2），其他条件不变，试探索△AOB能否为等腰三角形（只考虑点A在线段CD的延长线上且不包括点D时的情况）？若能，请求出点B的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（1）先假设存在AO、AB为腰的等腰三角形．然后根据函数解析式求出C、D点坐标，判断出∠OCD=∠ODC=45，再根据角的加减法求出∠BAC=22.5°=∠DOA，进而证出△ABC≌△OAD，可得出点B的坐标为（2-，0）．
（2）若△AOB为等腰三角形，则必为一边为底，两边为腰，分以下三种情况：①OA=OB，
根据∠OBA=∠OAB=45°，推出∠AOB=90°，得出矛盾；②BA=BO，根据∠BOA=∠BAO，得OA∥CA，推出矛盾，③AB=AO，根据角的加减、线段的加减和函数解析式，求出B的坐标．
【解析】
将x=0代入y=-x+1，y=0代入y=-x+1得点C、D的坐标为（1，0）（0，1）．则：
OC=OD=1，CD=，∠OCD=∠ODC=45°，
（1）△AOB可以构成AO、AB为腰的等腰三角形．
∵AO=AB，∠OAB=45°
∴∠AOB=∠ABO=67.5°，∠DOA=22.5°
又∵∠AOB=∠BAC+∠ACB
即67.5°=∠BAC+45°
∴∠BAC=22.5°=∠DOA
∴△ABC≌△OAD
∴AC=OD=1，BC=AD=CD-AC=，
则OB=OC-BC=2-．
点B的坐标为（2-，0）
即在滑动过程中△AOB可以构成以AO、AB为腰的等腰三角形，此时点B的坐标为（2-，0）

（2）若△AOB为等腰三角形，则有如下三种情况：
①OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45°，
因此∠AOB=90°，点A与点D重合，不合题意．
②BA=BO，则∠BOA=∠BAO，
∴OA∥CA，
因此不合题意．
③AB=AO，
∵∠BAO=45°
∴∠AOB=∠ABO=67.5°
∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=22.5°
∴∠OAD=∠ODC-∠AOD=22.5°=∠AOD
∴∠ABC=∠BAC=67.5°
由y=-x+t知OC=OD=t，DC=
∴AD=OD=t，BC=AC=AD+DC=t+t
∴BO=BC-OC=
∴点B的坐标为（-t，0）．