Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²+2mx+n经过P（，5），A（0，2）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，求到直线OB，OC，BC距离相等的点的坐标．

Answer

（1）把P，A坐标代入抛物线解析式即可．
（2）先设出平移后的直线l的解析式，然后根据（1）的抛物线的解析式求出C点的坐标，然后将C点的坐标代入直线l中即可得出直线l的解析式．
（3）本题关键是找出所求点的位置，根据此点到直线OB、OC、BC的距离都相等，因此这类点应该有4个，均在△OBC的内角平分线上（△OBC外有3个，三条角平分线的交点是一个），可据此来求此点的坐标．
【解析】
（1）根据题意得，
解得，
所以抛物线的解析式为：．

（2）由得抛物线的顶点坐标为B（，1），
依题意，可得C（，-1），且直线过原点，
设直线的解析式为y=kx，则，
解得，
所以直线l的解析式为．

（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图，
由勾股定理得OB=OC=BC=2，所以△OBC为等边三角形．
易证x轴所在的直线平分∠BOC，y轴是△OBC的一个外角的平分线，
作∠BCO的平分线，交x轴于M1点，交y轴于M2点，
作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线，交y轴于M3点，
反向延长线交x轴于M4点，可得点M1，M2，M3，M4就是到直线OB、OC、BC距离相等的点．
可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形，可求得：
①OM1==×2=，所以点M1的坐标为（，0）．
②点M2与点A重合，所以点M2的坐标为（0，2），
③点M3与点A关于x轴对称，所以点M3的坐标为（0，-2），
④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，
M4N=，且ON=M4N，
所以点M4的坐标为（，0）
综合所述，到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为：
M1（，0）、M2（0，2）、M3（0，-2）、M4（，0）．