Question

已知抛物线y=ax²+bx+2与x轴相交于点A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的两个实数根，点C为抛物线与y轴的交点．
（1）求a，b的值；
（2）分别求出直线AC和BC的解析式；
（3）若动直线y=m（0＜m＜2）与线段AC，BC分别相交于D，E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）求出方程两根代入抛物线解析式即可；
（2）设所求的解析式为y=kx+b，用待定系数法求解；
（3）若△DEP为等腰直角三角形，应分情况进行讨论，需注意应符合两个条件：等腰，有直角．
【解析】
（1）由x2-2x-3=0，得x1=-1，x2=3．
∴A（-1，0），B（3，0），（1分）
把A，B两点的坐标分别代入
y=ax2+bx+2联立求解，
得a=-，b=．（2分）

（2）由（1）可得y=-x2+x+2，
∵当x=0时，y=2，
∴C（0，2）．
设AC：y=kx+b，把A，C两点坐标分别代入y=kx+b，联立求得k=2，b=2．
∴直线AC的解析式为y=2x+2．（3分）
同理可求得直线BC的解析式是y=-x+2．（4分）

（3）假设存在满足条件的点P，并设直线y=m与y轴的交点为F（0，m）．
①当DE为腰时，分别过点D，E作DP1⊥x轴于P1，作EP2⊥x轴于P2，如图，
则△P1DE和△P2ED都是等腰直角三角形，DE=DP1=FO=EP2=m，AB=x2-x1=4．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴，即．
解得m=．（6分）
∴点D的纵坐标是，
∵点D在直线AC上，
∴2x+2=，解得x=-，
∴D（-，）．
∴P1（-，0），同理可求P2（1，0）．（8分）

②当DE为底边时，
过DE的中点G作GP3⊥x轴于点P3，如图，

则DG=EG=GP3=m，
由△CDE∽△CAB，
得，即，
解得m=1．（9分）
同1方法．求得D（-，1），E（，1），
∴DG=EG=GP3=1
∴OP3=FG=FE-EG=，
∴P3（，0）．（11分）
结合图形可知，P3D2=P3E2=2，ED2=4，
∴ED2=P3D2+P3E2，
∴△DEP3是Rt△，
∴P3（，0）也满足条件．
综上所述，满足条件的点P共有3个，即P1（-，0），P2（1，0），P3（，0）．（12分）