Question

如图，边长为4的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．
（1）当CD=1时，求点E的坐标；
（2）如果设CD=t，梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）求点E的坐标就是求AE的长（E的横坐标就是正方形的边长），要先求出BE的长，可根据相似三角形OCD和DBE得出关于OC，CD，BD，BE的比例关系式，然后根据正方形的边长和CD的长，来求出BE的长，也就求出AE的长，那么就可得出E的坐标．
（2）求梯形COEB的面积，关键是求BE的长，方法同（1）只不过将CD=1换成了CD=t，求出BE的表达式后，那么可根据梯形的面积公式，即可得出关于S，t的二次函数式，然后根据函数的性质即可得出函数的最大值即S的最大值以及对应的t的值．
【解析】
（1）正方形OABC中，
∵ED⊥OD，即∠ODE=90°
∴∠CDO+∠EDB=90°，
即∠COD=90°-∠CDO，而∠EDB=90°-∠CDO，
∴∠COD=∠EDB
又∵∠OCD=∠DBE=90°
∴△CDO∽△BED，
∴，
即，
得BE=，
则：AE=4-
因此点E的坐标为（4，）．

（2）存在S的最大值．
由△CDO∽△BED，
∴，
即，BE=t-t2，S=×4×（4+t-t2）=-（t-2）2+10．
故当t=2时，S有最大值10．