Question

已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为（-4，4）．平行于x轴的直线l过（0，-1）点．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小，最小面积是多少？

Answer

（1）已知了一次函数的图象经过A点，可将A点的坐标代入一次函数中，即可求出一次函数的解析式．
由于抛物线的顶点为原点，因此可设其解析式为y=ax2，直接将A点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．
（2）求直线与圆的位置关系需知道圆心到直线的距离和圆的半径长．由于直线l平行于x轴，因此圆心到直线l的距离为1．因此只需求出圆的半径，也就是求AB的长，根据（1）中两函数的解析式即可求出B点的坐标，根据A、B两点的坐标即可求出AB的长．然后判定圆的半径与1的大小关系即可．
（3）先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴为x=2．因此过F，M，N三点的圆的圆心必在直线x=2上，要使圆的面积最小，那么圆心到F点的距离也要最小（设圆心为C），即F，C两点的纵坐标相同，因此圆的半径就是2．C点的坐标为（2，1）（可根据一次函数的解析式求出F点的坐标）．可设出平移后的抛物线的解析式，表示出MN的长，如果设对称轴与x轴的交点为E，那么可表示出ME的长，然后在直角三角形MEC中根据勾股定理即可确定平移的距离．即t的值．（也可根据C点的坐标求出M，N点的坐标，然后用待定系数法求出平移后的抛物线的解析式，经过比较即可得出平移的距离，即t的值）．
【解析】
（1）把A（-4，4）代入y=kx+1
得k=-，
∴一次函数的解析式为y=-x+1；
∵二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y轴，
∴设二次函数解析式为y=ax2，
把A（-4，4）代入y=ax2
得a=，
∴二次函数解析式为y=x2．

（2）由
解得或，
∴，
过A，B点分别作直线l的垂线，垂足为A'，B'，
则AA′=4+1=5，BB′=+1=．
∴直角梯形AA'B'B的中位线长为，
过B作BH垂直于直线AA'于点H，
则BH=A'B'=5，，
∴，
∴AB的长等于AB中点到直线l的距离的2倍，
∴以AB为直径的圆与直线l相切．

（3）平移后二次函数解析式为y=（x-2）2-t，
令y=0，得（x-2）2-t=0，x1=2-2，x2=2+2，
∵过F，M，N三点的圆的圆心一定在平移后抛物线的对称轴上，点C为定点，B要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线x=2的距离，
此时，半径为2，面积为4π，
设圆心为C，MN中点为E，连CE，CM，则CE=1，
在△CEM中，ME=，
∴MN=2，而MN=|x2-x1|=4，
∴t=，
∴当t=时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4π．