Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（2，4）．
（Ⅰ）试用含a的代数式分别表示b，c；
（Ⅱ）若直线y=kx+4（k≠0）与y轴及该抛物线的交点依次为D、E、F，且，其中O为坐标原点，试用含a的代数式表示k；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若线段EF的长m满足3≤m≤3，试确定a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据抛物线的顶点坐标，可用顶点式二次函数通式来表示出抛物线的解析式，展开后即可得出b、c的表达式；
（Ⅱ）可先联立直线与抛物线的解析式，可得出一个关于x的一元二次方程，那么这个方程的解即为E、F点的横坐标，那么可根据△ODE和△OEF的面积比以及韦达定理来求k的表达式；
（Ⅲ）可根据E、F的坐标，运用坐标系中两点的距离公式表示出m，然后根据韦达定理和m的取值范围来求出a的取值范围．
【解析】
（I）由已知，可设抛物线的顶点式为y=a（x-2）2+4（a≠0），
即y=ax2-4ax+4a+4．
∴b=-4a，c=4a+4；
（II）设E（x1，y1），F（x2，y2），
由方程组消去y，
得ax2-（4a+k）x+4a=0  （*），
∴x1+x2=①，
x1•x2=4 ②，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即|x2|=4|x1|，
由②，知x1与x2同号，
∴x2=4x1③，
由②、③，
得x1=1，x2=4；x1=-1，x2=-4，
将上面数值代入①，
得=±5，
解得k=a或k=-9a，
经验证，方程（*）的判别式△＞0成立，
∴k=a或k=-9a；
（III）∵m2=（x2-x1）2+（y2-y1）2，
而（x2-x1）2=9，
由y1=kx1+4，y2=kx2+4，
得（y2-y1）2=k2（x2-x1）2=9k2，
∴m2=9（1+k2），
即m=3，
由已知3≤m≤3，
∴≤≤，
即1≤k2≤4，
∴1≤k≤2或-2≤k≤-1，
当k=a时，有1≤a≤2或-2≤a≤-1，
当k=-9a时，有1≤-9a≤2或-2≤-9a≤-1，
即-≤a≤-或≤a≤．