Question

如图，在△ABC中，AB=AC，E是高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点（点F在高AD上，且不与A，D重合）．过点F作BC的平行线与AB交于G，与AC交于H，连接GE并延长交BC于点I，连接HE并延长交BC于点J，连接GJ，HI．
（1）求证：四边形GHIJ是矩形；
（2）若BC=10，AD=6，设DE=x，S_矩形GHIJ=y．
①求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②点E在何处时，矩形GHIJ的面积与△AGH的面积相等？

Answer

（1）易得△GEF≌△IED，△FHE≌△DJE，则有GE=EI，EH=JE，所以四边形GHIJ是平行四边形，由等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合知，AF垂直平分GH⇒EF∥HI（三角形中位线定理）⇒HI⊥GH⇒四边形GHIJ是矩形．
（2）由于矩形GHIJ的面积=GH•FD，△AGH的面积=HG•AF，所以要使矩形GHIJ的面积等于△AGH的面积，则需AF=2DF，建立关于ED的方程，求得ED即可．
（1）证明：∵F，E关于点D对称，
∴FE=ED（1分）
又∵GH∥BC，
∴∠FGE=∠EID，
∵∠GEF=∠DEI，
∴△GEF≌△IED，
∴GE=EI，（2分）
同理可证EH=JE，（3分）
∴四边形GHIJ是平行四边形，（4分）
∵AB=AC，GH∥BC，AD⊥BC，
∴AF垂直平分GH，
∴EF∥HI（三角形中位线定理），
∴HI⊥GH，四边形GHIJ是矩形．（5分）

（2）【解析】
①由（1）得，DF=2ED=2x，
∵GH∥BC，
∴△AGH∽△ABC，
∴，
∴．
即GH=（6-2x）=10-x．
∴S矩形GHIJ=HI•GH=2x•（10-x）=-x2+20x，（6分）
∵AF=6-2x＞0，
∴x＜3，∴0＜x＜3．（7分）
②解法（一）：
∵S△AGH=AF•GH=•（6-2x）•（10-x），S矩形GHIJ=2x•（10-x），
依题意，得：•（6-2x）•（10-x）=2x•（10-x），（8分）
解得：x1=1，x2=3（x＜3，舍去），
即：当点E与点D的距离为1时，四边形GHIJ的面积与△AGH的面积相等．（9分）

解法（二）：要使矩形GHIJ的面积等于△AGH的面积，则需AF=2DF，（8分）
即6-2x=4x，∴x=1，
∴当点E与点D的距离为1时，四边形GHIJ的面积与△AGH的面积相等．（9分）