Question

已知开口向上的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于C点，∠ACB不小于90°．
（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求系数a的取值范围；
（3）设抛物线的顶点为D，求△BCD中CD边上的高h的最大值．

Answer

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出c的值，也就得出了C点的坐标；
（2）由于抛物线的解析式中二次项系数的绝对值越大开口越小，因此可计算出当∠ACB=90°时a的取值进而来求a的取值范围．当∠ACB=90°时，根据射影定理可求出OC的长，根据（1）中表示C点坐标的式子可得出此时a的值．因此a的取值范围就应该是0到这个值之间（a≠0）；
（3）延长DC交x轴于H，过B作BM⊥DH于M，那么BM就是所求的h；先根据抛物线的解析式求出抛物线的顶点坐标，过D作DG⊥y轴于G，根据相似三角形DCG和HCO不难求出OH=3，那么BH=2，因此在直角三角形HBM中，要想使BM最长，就需要使∠OHC最大，即OC要最长，根据（2）a的取值范围即可得出a的最大值，也就能求出此时∠BHM的正弦值，进而可求出BM的最大值．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-3，0），B（1，0），
∴
消去b，得c=-3a
∴C的坐标为（0，-3a）；

（2）当∠ACB=90°时
∠AOC=∠BOC=90°
∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°
∴∠ACO=∠OBC
∴△AOC∽△COB
∴
即OC2=AO•OB
∵AO=3，OB=1
∴OC=
∵∠ACB不小于90°
∴OC≤
即-c≤
由（1）得3a≤
∴a≤
又∵a＞0
∴a的取值范围为0＜a≤；

（3）作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，如图，
∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-3，0），B（1，0）
∴抛物线的对称轴为x=-1
即-=-1，所以b=2a
又由（1）有c=-3a
∴抛物线方程为y=ax2+2ax-3a
∴D点坐标为（-1，-4a）
∴CO=3a，GC=a，DG=1
∵DG∥OH
∴△DCG∽△HCO
∴，即
∴OH=3
∴直线DC过定点H（3，0）
过B作BM⊥DH，垂足为M，即BM=h
∴h=HBsin∠OHC=2sin∠OHC
∵0＜CO≤
∴0°＜∠OHC≤30°
∴0＜sin∠OHC≤
∴0＜h≤1
∴h的最大值为1．