Question

如图，点A在抛物线y=x²上，过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点B，延长AO，BO分别与抛物线y=-x²相交于点C，D，连接AD，BC，设点A的横坐标为m，且m＞0．
（1）当m=1时，求点A，B，D的坐标；
（2）当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直；
（3）猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer

（1）根据题意得点A的坐标是将x=1代入即可，根据对称性可得点B的坐标，即可得OB的解析式，与二次函数的解析式组成方程组即可求得点D的坐标；
（2）当四边形ABCD的两对角线互相垂直时，由对称性得直线AO与x轴的夹角等于45°所以点A的纵、横坐标相等，根据点A在二次函数y=x2上，即可求得m的值；
（3）根据题意求得点A，B的坐标，求得AC的长与BD的解析式，即可求得点D与C的坐标，求得CD的长，可得CD=2AB．
【解析】
（1）∵点A在抛物线y=x2上，且x=m=1，
∴A（1，），（1分）
∵点B与点A关于y轴对称，
∴B（-1，）．（2分）
设直线BD的解析式为y=kx，
∴k=-，
∴y=-x．（3分）
解方程组，
得D（2，-）．（4分）

（2）当四边形ABCD的两对角线互相垂直时，
由对称性得直线AO与x轴的夹角等于45°
所以点A的纵、横坐标相等，（5分）
这时，
设A（a，a），代入y=x2，
得a=4，
∴A（4，4），
∴m=4．
即当m=4时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直．（7分）

（3）线段CD=2AB．（8分）
证明：∵点A在抛物线y=x2，且x=m，
∴A（m，m2），
得直线AO的解析式为y=x，
解方程组，
得点C（-2m，-）（9分）
由对称性得点B（-m，m2），D（2m，-m2），（10分）
∴AB=2m，CD=4m，
∴CD=2AB．（11分）