Question

已知二次函数图象经过两点A（1，0）、B（5，0），且函数有最小值-1．直线y=m（x-3）与二次函数图象交于C、D两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：以CD为直径的圆与直线y=-2相切；
（3）设以CD为直径的圆与直线y=-2的切点为E，过点C、D分别作直线y=-2的垂线，垂足为F、G、S₁、S₂、S分别表示△CEF、△DEG、△CDE的面积．证明：S=S₁+S₂．

Answer

（1）根据题意可得二次函数的对称轴为x=（1+5）÷2=3，所以此函数的顶点坐标为（3，-1），利用顶点式即可求得；
（2）此题要借助于根与系数的关系，根据题意可得点C，D是方程组的解，由勾股定理得CD的长，化简即可证得；
（3）因为直线y=-2与以CD为直径的圆相切，又切点为E．知，Rt△CED∽Rt△CEF，Rt△DCE∽Rt△DEG，求出S1与S2的值即可证得．
（1）【解析】
二次函数的解析式为y=（x-3）2-1

（2）证明：（如图）设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD的中点为M（x，y）
即M点的坐标为
联立方程组
得x2-（6+4m）x+5+12m=O
由根与系数关系，得
x1+x2=6+4m，x1•x2=5+12m．①
过C点作DG的垂线，垂足为H，则H点坐标为（x2，y1）
在Rt△CHD中．由勾股定理得
CD=
∵y2-y1=m（x2-3）-m（x1-3）=m（x2-x1）
∴CD=
=
将①代入上式得
CD==4（m2+1）
又M到直线y=-2的距离为a=|y-（-2）|=y+2
=2+（y1+y2）=2+[m（x1-3）+m（x2-3）]
=2+（x1+x2）m-3m
=2+2m2=CD
CD为直径的圆与直线y=-2相切．（8分）

（3）证明：由（2）知直线y=-2与以CD为直径的圆相切，又切点为E．知，
Rt△CED∽Rt△CEF，Rt△DCE∽Rt△DEG，
因此，S1=
S1+S2=[]S
由勾股定理得，S1+S2=S．