Question

已知：在四边形ABCD中，AB=1，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设四边形EFGH的面积为S，AE=x（0≤x≤1）．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，
①求S关于x的函数解析式，并在图2中画出函数的草图；
②当x为何值时，S=？
（2）如图3，当四边形ABCD为菱形，且∠A=30°时，四边形EFGH的面积能否等于？若能，求出相应x的值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）①当四边形ABCD是正方形时，不难得出△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，因此四边形HEFG也是个正方形．直角三角形AHE中，AE=x，AH=1-x，那么可根据勾股定理求出HE2的值，即为S的值．由此可得出S，x的函数关系式．
②可将S=代入①的函数关系式中，即可得出x的值．
（2）与（1）类似不难得出△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH，因此只需求出△AEH和△EFB的面积，就可以用S▱ABCD-（S△AEH+S△EFB）×2来求出四边形EFGH的面积．
可分别过H，F作AB的垂线，根据∠A的度数来求出这两条高，进而可根据上面分析的步骤求出S，x的函数关系式，然后将S=代入函数关系式中，可得出一个关于x的方程，如果方程无解则说明不存在这样的情况，如果有解，那么得出的x的值就是所求的值．
【解析】
（1）①在Rt△AEH中，AE=x，AH=1-x，
则S=HE2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2（x-）2+．
②根据题意，得2（x-）2+=．
解方程，得x=，x=．
即得x=，x=．时，S=．

（2）四边形EFGH的面积可以等于．
由条件，易证△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH．
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB且FN交EB的延长线于N，
∵AE=x，则AH=1-x，
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，
∴HM=AH=（1-x）．
同理得FN=BF=x．
∴S△AEH=AE•HM=x（1-x），S△EBF=EB•FN=x（1-x）．
又∵SABCD=，
∴四边形EFGH的面积S=-4x（1-x）=x2-x+．
∴令x2-x+=，
解得x=，x=．
即x=，x=时，四边形EFGH的面积等于．