Question

如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于C，过点C的直线y=2x+b交x轴于D，且⊙P的半径为，AB=4．
（1）求点B，P，C的坐标；
（2）求证：CD是⊙P的切线；
（3）若二次函数y=-x²+（a+1）x+6的图象经过点B，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数y=2x+b值的x的取值范围．

Answer

（1）连接CA，构造直角三角形，运用勾股定理，求出各线段的长，进而求出B，P，C的坐标；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，求出对应线段的长，证明△DAC≌△POB，然后得到∠DCA=∠ABC，再根据直角三角形的性质求出∠DCA+∠ACB=90°，利用切线判定定理即可解答；
（3）把点B代入y=-x2+（a+1）x+6即可求出a的值，进而求出函数解析式；求出两函数图象交点，由图可得结论．
（1）【解析】
如图，连接CA．
∵OP⊥AB，
∴OB=OA=2．（1分）
∵OP2+BO2=BP2
∴OP2=5-4=1，OP=1．（2分）
∵BC是⊙P的直径，
∴∠CAB=90°．（也可用勾股定理求得下面的结论）
∵CP=BP，OB=OA，
∴AC=2OP=2．（3分）
∴B（2，0），P（0，1），C（-2，2）．（写错一个不扣分）（4分）

（2）证明：∵y=2x+b过C点，
∴b=6∴y=2x+6．（5分）
∵当y=0时，x=-3，
∴D（-3，0）．
∴AD=1．（6分）
∵OB=AC=2，AD=OP=1，∠CAD=∠POB=90°，
∴△DAC≌△POB．
∴∠DCA=∠ABC．
∵∠ACB+∠CBA=90°，
∴∠DCA+∠ACB=90°．（也可用勾股定理逆定理证明）（7分）
∴DC是⊙P的切线．（8分）

（3）【解析】
∵y=-x2+（a+1）x+6过B（2，0）点，
∴0=-22+（a+1）×2+6．
∴a=-2．（9分）
∴y=-x2-x+6．（10分）
因为函数y=-x2-x+6与y=2x+6的图象交点是（0，6）和点D（-3，0）（画图可得此结论）（11分）
所以满足条件的x的取值范围是x＜-3或x＞0．（12分）