Question

已知：抛物线M：y=x²+（m-1）x+（m-2）与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）若x₁x₂＜0，且m为正整数，求抛物线M的解析式；
（Ⅱ）若x₁＜1，x₂＞1，求m的取值范围；
（Ⅲ）试判断是否存在m，使经过点A和点B的圆与y轴相切于点C（0，2）？若存在，求出M：y=x²+（m-1）x+（m-2）的值；若不存在，试说明理由；
（Ⅳ）若直线l：y=kx+b过点F（0，7），与（Ⅰ）中的抛物线M相交于P，Q两点，且使，求直线l的解析式．

Answer

（1）本题有多种解法．首先由题意可得x1x2=m-2＜0，可求出m值，然后根据题意求出解析式即可．
（2）已知题意x1＜1，x2＞1推出（x1-1）（x2-1）＜0，然后可知x1+x2=-（m-1），x1x2=m-2，代入等式可解．
（3）存在．根据题意因为过A，B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），所以A，B两点在y轴的同侧，故x1x2＞0，
再根据圆的切割线定理得知OC2=OA•OB．
（4）首先分别假设P．Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2）．由平行线定理求出x2与x1的等量关系．再证明△FP2P∽△FQ2Q，求出x1的值，根据实际情况取值．
【解析】
（1）解法一：由题意得，x1x2=m-2＜0．（1分）
解得，m＜2．
∵m为正整数，
∴m=1．
∴y=x2-1．（2分）
解法二：由题意知，当x=0时，y=02+（m-1）×0+（m-2）＜0．（1分）
（以下同解法一）
解法三：∵△=（m-1）2-4（m-2）=（m-3）2，
∴x=，
∴x1=-1，x2=2-m．
又∵x1x2＜0，
∴x2=2-m＞0．（1分）
∴m＜2．
（以下同解法一．）
解法四：令y=0，即x2+（m-1）x+（m-2）=0，
∴（x+1）（x+m-2）=0
∴x1=-1，x2=2-m．
（以下同解法三．）

（2）解法一：∵x1＜1，x2＞1，
∴x1-1＜0，x2-1＞0．
∴（x1-1）（x2-1）＜0，
即x1x2-（x1+x2）+1＜0．（3分）
∵x1+x2=-（m-1），x1x2=m-2，
∴（m-2）+（m-1）+1＜0．（4分）
解得m＜1．
∴m的取值范围是m＜1．（5分）
解法二：由题意知，当x=1时，
y=1+（m-1）+（m-2）＜0．（4分）
解得：m＜1．
∴m的取值范围是m＜1．（5分）
解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，x1=-1，x2=2-m．
∵x1＜1，x2＞1，
∴2-m＞1，（4分）
∴m＜1．
∴m的取值范围是m＜1．（5分）

（3）存在．
解法一：因为过A，B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），
所以A，B两点在y轴的同侧，
∴x1x2＞0．（6分）
由切割线定理知，OC2=OA•OB，（7分）
即22=|x1||x2|．
∴|x1x2|=4
∴x1x2=4．
∴m-2=4．
∴m=6．（8分）
解法二：连接O'B，O'C．
圆心所在直线，（6分）
设直线与x轴交于点D，圆心为O'，
则O'D=OC=2，O'C=OD=．
∵AB=|x2-x1|==|m-3|，BD=，
∴．（7分）
在Rt△O′DB中，
O'D2+DB2=O'B2．
即．
解得m=6．（8分）

（4）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则y1=x12-1，y2=x22-1．
过P，Q分别向x轴引垂线，垂足分别为P1（x1，0），Q（x2，0）．
则PP1∥FO∥QQ1．
所以由平行线分线段成比例定理知，．
因此，，即x2=-2x1．（9分）
过P，Q分别向y轴引垂线，垂足分别为P2（0，y1），Q2（0，y2），
则PP2∥QQ2．所以△FP2P∽△FQ2Q．
∴．
∴．
∴21-2y1=y2．（10分）
∴21-2（x12-1）=x22-1
∴23-2x12=4x12-1
∴x12=4，
∴x1=2，或x1=-2．（11分）
当x1=2时，点P（2，3）．
∵直线l过P（2，3），F（0，7），
∴，
解得
当x1=-2时，点P（-2，3）．
∵直线l过P（-2，3），F（0，7），
∴，
解得
故所求直线l的解析式为：y=2x+7，或y=-2x+7．（12分）