Question

如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成长方形零件PQMN，使长方形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上．
（Ⅰ）求这个长方形零件PQMN面积S的最大值；
（Ⅱ）在这个长方形零件PQMN面积最大时，能否将余下的材料△APN，△BPQ，△NMC剪下再拼成（不计接缝用料及损耗）与长方形PQMN大小一样的长方形？若能，试给出一种拼法；若不能，试说明理由．

Answer

（1）设长方形零件PQMN的边PN=a，PQ=x，则AE=80-x，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示a，故S=x•a，从而得出二次函数解析式，根据解析式及自变量取值范围求S的最大值；
（2）S的最大值是2400mm2，而△ABC的面积是4800mm2，故剩下部分面积是2400mm2，而此时PQ=AD=40，故P，Q分别为AB，AC的中点，易证△PBQ≌△PAG，△NMC≌△NHA，可达到拼接的目的．
【解析】
（1）设长方形零件PQMN的边PN=a，PQ=x，则AE=80-x．
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC．
∴．
因此，．（1分）
解得a=120-x．（2分）
所以长方形PQMN的面积S=xa=x（120-x）=-x2+120x．（3分）
当x=-=40时，a=60．（4分）
S最大值=40×60=2400（mm2）．
所以这个长方形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2．（5分）

（2）∵S△ABC-2S最大值=×120×80-2×2400=0，
∴从理论上说，恰能拼成一个与长方形PQMN大小一样的长方形．
拼法：作△ABC的中位线PN，分别过P，N作BC的
垂线，垂足分别为Q，M，过A作BC的平行线，交QP，MN的延长线于G，H，易知△PBQ≌△PAG，△NMC≌△NHA，
所以将△PBQ，△NMC剪下拼接到△PAG，△NHA的位置，
即得四边形PNHG，此四边形即为长方形零件PQMN面积最大时大小一样的长方形．
（注：拼法描述正确得（2分），画图正确得（1分）．）