Question

如图，已知抛物线的顶点为M（2，-4），且过点A（-1，5），连接AM交x轴于点B．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点左方一段上的动点，连接PO，以P为顶点、PO为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴的垂线交直线AM于点R，连接PR，设△PQR的面积为S，求S与x之间的函数关系式；
（4）在上述动点P（x，y）中，是否存在使S_△PQR=2的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据抛物线过M（2，-4），A（-1，5），O（0，0）三点，用待定系数法即可求出二次函数的解析式．
（2）由于直线AM过A，M两点，可用待定系数法求出直线的解析式，从而求出直线与x轴的交点B的坐标．
（3）设点P（x，y）则，Q的坐标是（2x，0），把2x代入直线AM的解析式，就可以求出R的坐标．得到QR的长度，QR边上的高是x，因而△QRP的面积就可以用x表示出来，得到S与x的函数解析式．
（4）使S△PQR=2，把s=2代入函数的解析式，就可以得到关于x的方程，解方程求解就可以．
【解析】
（1）∵根据抛物线过M（2，-4），A（-1，5），O（0，0）三点，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx（a≠0），
把M（2，-4），A（-1，5）代入得，
解得，
这条抛物线的解析式为y=x2-4x；

（2）设直线AM的解析式为y=kx+b（k≠0），
把M（2，-4），A（-1，5）两点代入得，
解得，
故直线AM的解析式为y=-3x+2，
令y=0，解得x=，
故B点坐标为（，0）；

（3）设点P（x，y）则，Q的坐标是（2x，0），
代入直线AM的解析式y=-3x+2，就可以求出R的坐标．
得到QR的长度，QR边上的高是x，
∴S=．

（4）s=2代入（3）中函数的解析式即可得
2=-3x2+x或2=3x2-x，
当2=-3x2+x，方程的△＜0，方程无解；
当2=3x2-x，解得：x1=1，x2=-，
当x=1时y=x2-4x=-3，即抛物线上的P点坐标为（1，-3）时，s=2成立；
当x=-＜0（舍去），
∴存在动点P，使S=2，此时P点坐标为（1，-3）．