Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BA=CD，AD的长为4，S_梯形ABCD=9．已知点A、B的坐标分别为（1，0）和（0，3）．
（1）求点C的坐标；
（2）取点E（0，1），连接DE并延长交AB于P试猜想DF与AB之间的关系，并证明你的结论；
（3）将梯形ABCD绕点A旋转180°后成梯形AB′C′D′，求对称轴为直线x=3，且过A、B′两点的抛物线的解析式．

Answer

（1）根据等腰三角形的性质，易得点C到X，Y轴的距离，进而可得C的坐标；
（2）根据三角函数的定义求出有tan∠FDA与tan∠BAO值，进而可得DF⊥AB；
（3）根据题意，设出其方程，将AB的坐标代入可得ac的值，化简可得抛物线解析式．
【解析】
（1）根据题意，点A、B的坐标分别为（1，0）和（0，3）易得OB=3，BC=2，
可得C到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
故C（-2，3）．

（2）猜想：DF⊥AB．
根据题意，易得tan∠FDA==，
同时可得tan∠BAO=-=-3，
有tan∠FDA×tan∠BAO=-1，
故DF⊥AB．

（3）根据题意，设其方程为y=a（x-3）2+c，
同时有A（1，0），（5，0），
将其代入方程可得a=1，c=-4，
化简可得y=x2-6x+5，
故所求的抛物线解析式为y=x2-6x+5．