Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为（1，0），以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，顶点为点N．
（1）求过A、C两点直线的解析式；
（2）当点N在半圆M内时，求a的取值范围；
（3）过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F，B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．

Answer

（1）根据矩形的性质及A点坐标可求出C点坐标，再根据A、C两点的坐标用待定系数法即可求出过A、C两点直线的解析式．
（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为（1，0），可求出B、D、M、E点的坐标，根据抛物线与坐标轴交于A、B两点故可设出抛物线的交点式，根据交点式可求出N点坐标，由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，又点N在半圆内，即可求出a的取值范围．
（3）根据切线的性质定理、矩形的边长及勾股定理可求出△各边的长，因为在△ABF与△CMN均为直角三角形，故应分两种情况讨论即△ABF∽△CMN，△ABF∽△NMC，同时在讨论时还要考虑到N在CD的下方与上方的情况．
【解析】
（1）因为在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为（1，0），
所以B（4，0），C（4，2），
设过A，C两点的直线解析式为y=kx+b，
把A，C两点代入得，
解得，
故过点A、C的直线的解析式为y=x-．

（2）由抛物线过A，B两点，可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4），
整理得，y=ax2-5ax+4a．
∴顶点N的坐标为（，-）．
由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，又点N在半圆内，
＜-＜2，
解这个不等式，得-＜a＜-．

（3）设EF=x，则CF=x，BF=2-x，AF=2+x，AB=3，
在Rt△ABF中，由勾股定理AB2+BF2=AF2，
得x=，BF=，
①由△ABF∽△CMN得，=，即MN==．
当点N在CD的下方时，由-=2-=，求得N1（，）．
当点N在CD的上方时，由-=2+=，求得N 2（，）．
②由△ABF∽△NMC得，=即MN==．
当点N在CD的下方时，由-=2-=-，求得N3（，）．
当点N在CD的上方时，由-=2+=，求得N4（，）．