Question

如图，已知抛物线y=mx²+nx+p与y=x²+6x+5关于y轴对称，与y轴交于点M，与x轴交于点A和B．
（1）y=mx²+nx+p的解析式为______，试猜想出与一般形式抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式为______．
（2）A，B的中点是点C，则sin∠CMB=______

Answer

（1）抛物线y=mx2+nx+p与y=x2+6x+5关于y轴对称，即y=x2+6x+5上的点关于y轴的对称点在函数y=mx2+nx+p上，可以在y=x2+6x+5上取几点，求出它们关于y轴的对称点，利用待定系数就可以求出函数的解析式．
（2）根据抛物线的解析式，可以求出A，B点的坐标，则C的坐标也可以求出．过点C作CD⊥BM，易证，△BCD是等腰直角三角形，在直角△BCD中根据三角函数可以求出CD，在直角△NOC中，根据勾股定理就可以求出MC的长，则sin∠CMB就可以求出．
（3）设过点M（0，5）的直线为y=kx+b，则b=5．则直线的解析式是y=kx+5，与抛物线的解析式组成方程组，解方程组就可以得到N，M两点的坐标，可以得到a，b的关系，从而求出值．
【解析】
（1）y=x2+6x+5的顶点为（-3，-4），
即y=mx2+nx+p的顶点的为（3，-4），
设y=mx2+nx+p=a（x-3）2-4，
y=x2+6x+5与y轴的交点M（0，5），
即y=mx2+nx+p与y轴的交点M（0，5）．
即a=1，
所求二次函数为y=x2-6x+5．
猜想：
与一般形式抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式是y=ax2-bx+c．

（2）过点C作CD⊥BM．
抛物线y=x2-6x+5与x轴的交点A（1，0），B（5，0），与y轴交点M（0，5），AB中点C（3，0）．
故△MOB，△BCD是等腰直角三角形，CD=BC=．
在Rt△MOC中，MC=．
则sin∠CMB=．

（3）设过点M（0，5）的直线为y=kx+b，则b=5．
，
解得，
，
则a=k+6，b=k2+6k+5，
由已知a，b是方程x2-x+m=0的解，故a+b=1．
即（k+6）+（k2+6k+5）=1，
化简k2+7k+10=0，则k1=-2，k2=-5．
点N的坐标是（4，-3）或（1，0）．