Question

已知抛物线y=x²-mx+m-2．
（1）求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）若m是整数，抛物线y=x²-mx+m-2与x轴交于整数点，求m的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．若m为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．

Answer

（1）与x轴有两个交点即是△＞0，只要表示出△，通过配方得到（m-2）2+4即可说明此抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）因为关于x的方程x2-mx+m-2=0的根为，
由m为整数，当（m-2）2+4为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点．列方程即可求得；
（3）首先确定函数的解析式，根据题意求得A，B的坐标，根据题意列方程即可．
（1）证明：令y=0，则x2-mx+m-2=0．
因为△=m2-4m+8=（m-2）2+4＞0，（1分）
所以此抛物线与x轴有两个不同的交点．（2分）

（2）【解析】
因为关于x的方程x2-mx+m-2=0的根为x==，
由m为整数，当（m-2）2+4为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点．
设（m-2）2+4=n2（其中n为整数），（3分）
则[n+（m-2）][n-（m-2）]=4
因为n+（m-2）与n-（m-2）的奇偶性相同，
所以
或
解得m=2．
经过检验，当m=2时，方程x2-mx+m-2=0有整数根．
所以m=2．（5分）

（3）【解析】
当m=2时，
此二次函数解析式为y=x2-2x=（x-1）2-1，
则顶点坐标为（1，-1）．
抛物线与x轴的交点为O（0，0）、B（2，0）．
设抛物线的对称轴与x轴交于点M1，则M1（1，0）．
在直角三角形AM1O中，由勾股定理，得．
由抛物线的对称性可得，．
又因为，即OA2+AB2=OB2．
所以△ABO为等腰直角三角形．（6分）
则M1A=M1B．
所以M1（1，0）为所求的点．（7分）
若满足条件的点M2在y轴上时，
设M2坐标为（0，y），
过A作AN⊥y轴于N，连接AM2、BM2，则M2A=M2B．
由勾股定理，
即M2A2=M2N2+AN2；M2B2=M2O2+OB2，
即（y+1）2+12=y2+22．
解得y=1．
所以M2（0，1）为所求的点．（8分）
综上所述，满足条件的M点的坐标为（1，0）或（0，1）．