Question

如图，在平面直角坐标系中，半径分别为3和的⊙O₁和⊙O₂外切于原点O，在x轴上方的两圆的外公切线AB与⊙O₁和⊙O₂分别切于点A、B，直线AB交y轴于点C．O₂D⊥O₁A于点D．
（1）求∠O₁O₂D的度数；
（2）求点C的坐标；
（3）求经过O₁、C、O₂三点的抛物线的解析式；
（4）在抛物线上是否存在点P，使△PO₁O₂为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）可在直角三角形O1O2D中，根据两圆的半径来求，连接O2B可发现，O1D实际是两圆的半径差，而O1O2实际是两圆的半径和，可据此求出∠O1O2D的正弦值，以此可求出∠O1O2D的度数．
（2）根据切线长定理可知OC=AC=BC，即OC=AB，而AB可在直角三角形O1O2D中求出，由此可得出所求的解．
（3）已知了三点的坐标，用待定系数法求解即可．
（4）很明显C点符合P点的条件（连接O1C，O2C可得出∠O1CO+∠O2CO=∠ACB=90°），那么C点关于抛物线的对称轴的对称点也应该符合P点的条件．
【解析】
（1）连接O2B，

易证四边形ADO2B为矩形
在Rt△O2DO1中，
O1D=2，O1O2=4
则∠O1O2D=30°，O2D=6；

（2）由（1）得AB=O2D=6
又∵AB、OC是⊙O1、⊙O2的切线
∴OC=AC=BC=3
∴点C的坐标为（0，3）

（3）由图知：O1、O2点的坐标为（-3，0）、（，0）
设过点O1、O2、C三点的抛物线的解析式为
y=ax2+bx+c
则有：
解之得：a=b=c=3
故抛物线的解析式为：y=x2+x+3

（4）存在
点C显然满足条件．
又根据抛物线的对称性知，点C关于x=的对称点也满足条件
即P点的坐标为（0，3）、（，3）．