Question

已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，抛物线y=ax²+bx+c经过O、A两点．
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠POA=∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据图象，易得点A、C的坐标，代入解析式可得a、b的关系式；
（2）根据抛物线的对称性，结合题意，分a＞0，a＜0两种情况讨论，可得答案；
（3）根据题意，设出P的坐标，按P的位置不同分两种情况讨论，可得答案．
【解析】
（1）解法一：∵一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，
∴点A的坐标为（4，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点，
∴c=0，16a+4b=0．
∴b=-4a（1分）．
解法二：∵一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，
∴点A的坐标为（4，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
∴x=-=2．
∴b=-4a（1分）．

（2）由抛物线的对称性可知，DO=DA
∴点O在⊙D上，且∠DOA=∠DAO
又由（1）知抛物线的解析式为y=ax2-4ax
∴点D的坐标为（2，-4a）
①当a＞0时，如图
设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'
∴点D'与点D也关于x轴对称
∵点O在⊙D'上，且⊙D与OD'相切，
∴点O为切点（2分）
∴D'O⊥OD
∴∠DOA=∠D'OA=45°
∴△ADO为等腰直角三角形
∴OD=2（3分）
∴点D的纵坐标为-2
∴-4a=-2，
∴a=，b=-4a=-2．
∴抛物线的解析式为y=x2-2x．（4分）
②当a＜0时，
同理可得：OD=2
抛物线的解析式为y=-x2+2x（5分）
综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为y=x2-2x或y=-x2+2x．

（3）答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠POA=∠OBA
设点P的坐标为（x，y），且y＞0
①当点P在抛物线y=x2-2x上时（如图）
∵点B是⊙D的优弧上的一点
∴∠OBA=∠ADO=45°
∴∠POA=∠OBA=60°
过点P作PE⊥x轴于点E，
∴tan∠POE=
∴=tan60°，
∴y=．
由
解得：（舍去）
∴点P的坐标为．（7分）
②当点P在抛物线y=-x2+2x上时（如图）
同理可得，y=
由
解得：（舍去）
∴点P的坐标为（4-2，-6+4）．（9分）
综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为（4+2，6+4）或（4-2，-6+4）．