Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，点A的横坐标为-1，过点C（0，3）的直线y=-x+3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）确定b，c的值；
（2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）将A、C的坐标代入抛物线中即可求得待定系数的值．
（2）根据抛物线的解析式可求得B点的坐标，即可求出OB，BC的长，在直角三角形BPH中，可根据BP的长和∠CBO三角函数求出PH，BH的长，进而可求出OH的长，也就求出了P点的坐标．Q点的坐标，可直接由直线CQ的解析式求得．
（3）本题要分情况讨论：
①PQ=PB，此时BH=QH=BQ，在（2）中已经求得了BH的长，BQ的长可根据B、Q点的坐标求得，据此可求出t的值．
②PB=BQ，那么BQ=BP=5t，由此可求出t的值．
③PQ=BQ，已经求得了BH的长，可表示出QH的长，然后在直角三角形PQH中，用BQ的表达式表示出PQ，即可用勾股定理求出t的值．
【解析】
（1）已知抛物线过A（-1，0）、C（0，3），则有：
，
解得，
因此b=，c=3；

（2）令抛物线的解析式中y=0，则有-x2+x+3=0，
解得x=-1，x=4；
∴B（4，0），OB=4，
因此BC=5，
在直角三角形OBC中，OB=4，OC=3，BC=5，
∴sin∠CBO=，cos∠CBO=，
在直角三角形BHP中，BP=5t，
因此PH=3t，BH=4t；
∴OH=OB-BH=4-4t，
因此P（4-4t，3t）．
令直线的解析式中y=0，则有0=-x+3，x=4t，
∴Q（4t，0）．

（3）存在t的值，有以下三种情况
①如图1，当PQ=PB时，
∵PH⊥OB，则QH=HB，
∴4-4t-4t=4t，
∴t=，
②当PB=QB得4-4t=5t，
∴t=，
③当PQ=QB时，在Rt△PHQ中有QH2+PH2=PQ2，
∴（8t-4）2+（3t）2=（4-4t）2，
∴57t2-32t=0，
∴t=，t=0（舍去），
又∵0＜t＜1，
∴当或或时，△PQB为等腰三角形．