Question

如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是等腰梯形，A、B在x轴上，D在y轴上，AB∥CD，AD=BC=，AB=5，CD=3，抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点．
（1）求b、c；
（2）设M是x轴上方抛物线上的一动点，它到x轴与y轴的距离之和为d，求d的最大值；
（3）当（2）中M点运动到使d取最大值时，此时记点M为N，设线段AC与y轴交于点E，F为线段EC上一动点，求F到N点与到y轴的距离之和的最小值，并求此时F点的坐标．

Answer

（1）根据等腰梯形的两底的差不难得出A、B两点的坐标，然后将A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可求出b，c的值．
（2）由于M是抛物线上的点，可根据抛物线的解析式设出点M的坐标，那么它到x，y轴的距离就是横坐标的绝对值与纵坐标的绝对值的和，由此可得出一个新的二次函数，根据这个函数的性质即可求出d的最大值．
（3）本题的关键是确定F到N点与到y轴的距离之和的最小时，F点的位置．
过A作y轴的平行线AH，过F作FG⊥y轴交AH于点Q，过F作FK⊥x轴于K，不难得出∠CAB=45°，因此FK=AK=FQ，而OG=IA=1，因此FG=FK-1，那么F到N点与到y轴的距离之和可表示为FK+FN-1，要想使这个值最小，FK+FN就必须最小，因此当这个距离和取最小值时，F，N，K应该在一条直线上，由此F的横坐标和N点的横坐标相同．可先求出直线AC的解析式然后将N点的横坐标代入直线AC的解析式中即可得出F点的坐标．
【解析】
（1）易得A（-1，0）B（4，0），
把x=-1，y=0；
x=4，y=0分别代入y=-x2+bx+c，
得，
解得．（3分）

（2）设M点坐标为（a，-a2+3a+4），
d=|a|-a2+3a+4．
①当-1＜a≤0时，d=-a2+2a+4=-（a-1）2+5，
所以，当a=0时，d取最大值，值为4；
②当0＜a＜4时，d=-a2+4a+4=-（a-2）2+8
所以，当a=2时，d取最大值，最大值为8；
综合①、②得，d的最大值为8．
（不讨论a的取值情况得出正确结果的得2分）

（3）N点的坐标为（2，6），
过A作y轴的平行线AH，过F作FG⊥y轴交AH于点Q，过F作FK⊥x轴于K，
∵∠CAB=45°，AC平分∠HAB，
∴FQ=FK
∴FN+FG=FN+FK-1，
所以，当N、F、K在一条直线上时，FN+FG=FN+FK-1最小，最小值为5．
易求直线AC的函数关系式为y=x+1，把x=2代入y=x+1得y=3，
所以F点的坐标为（2，3）．