Question

如图，在△ABC中，AC=AB=2，∠A=90°，将一块与△ABC全等的三角板的直角顶点放在点C上，一直角边与BC重叠．
（1）操作1：固定△ABC，将三角板沿C⇒B方向平移，使其直角顶点落在BC的中点M，如图2示．探究：三角板沿C⇒B方向平移的距离为______；
（2）操作2：在（1）情形下，将三角板绕BC的中点M顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°）如图3示．探究：设三角板两直角边分别与AB、AC交于P、Q，观察四边形MPAQ形状的变化，发现其面积始终不变，那么四边形MPAQ的面积S_{四边形MPAQ}=______；
（3）在（2）的情形下，连PQ，设BP=x，记△APQ的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，△PQA面积有最大值，最大值是多少？

Answer

（1）∵AC=AB=2，∠A=90°∴BC=2，直角顶点落在BC的中点M，移动的距离为BC的一半，为；
（2）连接AM，易得△MBP≌△MAQ，∴S四边形MPAQ=S△MAB=1；
（3）BP=x，那么AQ=BP=x，AP=2-x∴S△PQA=AP•AQ．
【解析】
（1）；
（2）S四边形MPAQ=1；
（3）连AM，易证△AQM≌△BMP，
则AQ=PB=x，AP=2-x，
S△PQA=AP•AQ=（2-x）x．
y=（2-x）x=，
y=（2-x）x==-（x-1）2+，
当x=1时S△PQA最大=．