Question

如图，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，AB=．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，连接DE、DF、EF，且使DE始终与AB垂直，设AD=x，△DEF的面积为y．
（1）画出符合条件的图形，写出与△ADE一定相似的三角形并说明理由；
（2）EF与AB可能平行吗？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由；
（3）求出y与x之间的函数关系式并求出自变量的取值范围；当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？

Answer

（1）由于AC=BC，根据等边对等角，∠A=∠B=30°，又知道∠B也是30°，那么不难得出∠DFB就应该是90°，在△ABC中，肯定相等的角是∠A=∠B=30°，∠ADE=∠DFB=90°，因此△ADE和△BFD一定相似．
（2）如果EF∥AB，那么△DEF就是个直角三角形，如果设AD=x，那么根据AB的长，可以用x表示出BD的长，先在△ADE中，根据∠A的度数和AD的长用x和三角形函数表示出DE同理在△DEF中，用DE表示出DF，先前我们用x表示出了BD的长，那么可以在直角△BDF中，用x表示出DF，然后让这两个表示DF的式子相等，即可求出x即AD的长．
（3）求△DEF的高就要知道它的底边和高分别是多少，在（2）中我们已经得出了DE=，DE边上的高=DF•sin30°=DF=（-），由此可根据三角形的面积公式来列出关于x，y的函数关系式．当F与C重合时x最小，此时BF=2．那么BD=，x=2-BD=；当E与C重合时，AD就是AB的一半，此时x=，x的值最大，因此x的取值范围就是≤x≤．然后根据得出的函数式和自变量的取值求出y的最大值是多少．
【解析】
（1）图形举例：
△ADE∽△BFD
∵DE⊥AB，∠EDF=30°，∴∠FDB=60°
∵∠A=∠B，∠AED=∠FDB，
∴△ADE∽△BFD．

（2）EF可以平行于AB
此时，在直角△ADE中，DE=，
在直角△DEF中，EF=
在直角△DBF中，
∵BD=，∴DF=
而DF=2EF，
∴=，
∴．

（3）y=××（-）==（）
当时，y最大=．