Question

已知抛物线L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是，与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．
（1）请直接写出抛物线y=2x²-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：
伴随抛物线的解析式 ______，伴随直线的解析式 ______；
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x²-3和y=-x-3，则这条抛物线的解析式是 ______；
（3）求抛物线L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；
（4）若抛物线L与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，x₂＞x₁＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD．请求出a、b、c应满足的条件．

Answer

（1）先根据抛物线的解析式求出其顶点P和抛物线与y轴的交点M的坐标．然后根据M的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将P点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式．根据M，P两点的坐标即可求出直线PM的解析式；
（2）由题意可知：伴随抛物线的顶点坐标是抛物线与y轴交点坐标，伴随抛物线与伴随直线的交点（与y轴交点除外）是抛物线的顶点，据此可求出抛物线的解析式；
（3）方法同（1）；
（4）本题要考虑的a、b、c满足的条件有：
抛物线和伴随抛物线都与x轴有两个交点，因此△＞0，①
由于抛物线L中，x2＞x1＞0，因此抛物线的对称轴x＞0，两根的积大于0．②
根据两抛物线的解析式分别求出AB、CD的长，根据AB=CD可得出另一个需满足的条件…③综合这三种情况即可得出所求的a、b、c需满足的条件．
【解析】
（1）y=-2x2+1，y=-2x+1；
（2）y=x2-2x-3；
（3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c），
∵设它的解析式为y=m（x-0）2+c（m≠0），
∵此抛物线过P（-，），
∴=m•（-）2+c，
解得m=-a，
∴伴随抛物线解析式为y=-ax2+c；
设伴随直线解析式为y=kx+c（k≠0），
P（-，）在此直线上，
∴，
∴k=，
∴伴随直线解析式为y=x+c；
（4）∵抛物线L与x轴有两交点，
∴△1=b2-4ac＞0，
∴b2＞4ac；
∵x2＞x1＞0，
∴x2+x1=-＞0，x1•x2=＞0，
∴ab＜0，ac＞0．
对于伴随抛物线有y=-ax2+c，有△2=0-（-4ac）=4ac＞0，由-ax2+c=0，得x=±．
∴C（-，0），D（，0），CD=2，
又AB=x2-x1====，
∵AB=CD，则有：2=，即b2=8ac，
综合b2=8ac，b2-4ac＞0，ab＜0，ac＞0
可得a、b、c需满足的条件为：
b2=8ac且ab＜0（或b2=8ac且bc＜0）．