Question

如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．

Answer

连接AC，根据已知条件利用等角对等边可以得到CF=BF；作CG⊥AD于点G，先利用HL判定Rt△BCE≌Rt△DCG，推出BE=DG，根据边之间的关系可求得BE的值，再根据相似三角形的判定得到△BCE∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例，可得到BC2=BE•AB，这样便求得BC的值，注意负值要舍去．
（1）证明：连接AC，如图
∵C是弧BD的中点
∴∠BDC=∠DBC（1分）
又∵∠BDC=∠BAC
在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB
∴∠BCE=∠BAC
∠BCE=∠DBC（3分）
∴CF=BF；（4分）

（2）【解析】
解法一：作CG⊥AD于点G，
∵C是弧BD的中点
∴∠CAG=∠BAC，
即AC是∠BAD的角平分线．（5分）
∴CE=CG，AE=AG（6分）
在Rt△BCE与Rt△DCG中，
CE=CG，CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）
∴BE=DG（7分）
∴AE=AB-BE=AG=AD+DG
即6-BE=2+DG
∴2BE=4，即BE=2（8分）
又∵△BCE∽△BAC
∴BC2=BE•AB=12（9分）
BC=±2（舍去负值）
∴BC=2．（10分）

解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB
∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分
在Rt△ADB与Rt△FEB中，
∵∠ABD=∠FBE
∴△ADB∽△FEB，
则，即，
∴BF=3EF（6分）
又∵BF=CF，
∴CF=3EF
利用勾股定理得：
（7分）
又∵△EBC∽△ECA
则，
则CE2=AE•BE（8分）
∴（CF+EF）2=（6-BE）•BE
即（3EF+EF）2=（6-2EF）•2EF
∴EF=（9分）
∴BC=．（10分）