Question

已知BC为⊙O直径，D是直径BC上一动点（不与点B，O，C重合），过点D作直线AH⊥BC交⊙O于A，H两点，F是⊙O上一点（不与点B，C重合），且，直线BF交直线AH于点E．
（1）如图（a），当点D在线段BO上时，试判断AE与BE的大小关系，并证明你的结论；
（2）当点D在线段OC上，且OD＞DC时，其它条件不变．
①请你在图（b）中画出符合要求的图形，并参照图（a）标记字母；
②判断（1）中的结论是否还成立，请说明理由．

Answer

（1）AE=BE，可根据垂径定理得出弧AB=弧BH，已知了弧AB=弧AF，因此弧BH=弧AF，根据圆周角定理可得出∠BAH=∠ABF根据等角对等边即可得出AE=BE．（方法不唯一）
（2）结论不变，证法同（1），根据垂径定理可得出弧AC=弧CH，因此弧AB=弧BH，由于弧AB=弧AF，因此弧AF=弧BH，即∠BAE=∠ABE，因此AE=BE．
【解析】
（1）AE=BE
证法①：
∵BC为⊙O直径，AH⊥BC于点D
∴
又∵
∴
∴∠1=∠2
∴AE=BE．
证法②：
连AF，AC
∵BC是⊙O直径，AH⊥BC于点D
∴∠BAC=∠ADB=90°
∴∠2+∠ABD=90°，∠ABD+∠C=90°
∴∠2=∠C
∵∠F=∠C
∴∠2=∠F
又∵
∴∠1=∠F
∴∠1=∠2
∴AE=BE．
证法③：
连接OA，交BF于点G
∵
∴OA⊥BF
又∵AD⊥BC
∴∠ADO=∠BGO
又∵∠AOB=∠AOB
∴△AOD∽△BOG
∴∠OBE=∠OAD
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∴∠1=∠2
∴AE=BE

（2）①所画图形如右图所示，AE=BE成立
证法①：
∵BC是⊙O直径，AH⊥BC于点D
∴
又=
∴
∴∠BAE=∠ABE
∴AE=BE．

证法②：
连接AC，AF
∵BC是⊙O直径，BC⊥AD于点D
∴∠BAC=∠ADC=90°
∵
∴∠BAD=∠C
又∵
∴∠ABF=∠AFB
又∵∠C=∠AFB
∴∠ABF=∠BAE
∴BE=AE．
证法③：
连接AO并延长AO交BF于点G
∵，AG过圆心
∴AG⊥BF
又∵AH⊥BC于点D
∴∠ADO=∠OGB=90°
又∵BC为⊙O直径，∠2=∠3
∴∠GBO=∠DAO
又∵OA=OB
∴∠4=∠5
∴∠ABG=∠BAD
∴BE=AE．