Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，点C在y轴上，以C为圆心，4cm为半径的圆与x轴相交于点A、B，与y轴相交于D、E，且=．点P是⊙C上一动点（P点与A、B点不重合）．连接BP、AP．
（1）求∠BPA的度数；
（2）若过点P的⊙C的切线交x轴于点G，是否存在点P，使△APB与以A、G、P为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）点P可以在优弧AB上或在劣弧AB上，只需求得其中的一种情况，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得另一种情况．根据垂径定理得到弧BE=弧AE，则弧BD=弧BE的2倍，再根据半圆的度数是180°，从而求得弧BE的度数是60°，则劣弧AB的度数是120°，进而求得∠BPA的度数；
（2）分两种情况，即点P在y轴的左侧和右侧，若相似，根据相似三角形的对应角相等，分析得到两个三角形必是直角三角形，再结合（1）中求得的角的度数，运用解直角三角形的知识求解．
【解析】
（1）根据垂径定理得到弧BE=弧AE．
又=，则弧BD=弧BE的2倍．
所以劣弧AB的度数是120°．
∴∠BPA=60°或∠BPA=120°；

（2）设存在点P，使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似．
①当P在弧EAD上时，（图1）GP切OC于点P，∴∠GPA=∠PBA．
又∵∠GAP是△ABP的外角，∴∠GAP＞∠BPA，∠GAP＞∠PBA．
欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠GAP=∠PAB=90°，
∴BP为⊙C的直径．
在Rt△PAB中，∠BPA=60°，PB=8，
∴PA=4，AB=4，OA=2，P（2，4）
②当P在弧EBD上时，（图2）在△PAB和△GAP中，
∵∠PBA是△GBP的外角，
∴∠PBA＞∠PGB，
又∵∠PAB=∠GAP，
欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠APB=∠PGB，
∴GP切⊙C于点P，
∴∠GPB=∠PAG．
由三角形内角和定理知：∠ABP=∠GBP，
∴∠ABP=∠GBP=90°．
在Rt△PAB，∠BPA=60°，PA=8，
∴PB=4，AB=4，OB=2，P（-2，4），
∴存在点P1（2，4）、P2（-2，4）使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似．