Question

如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）求DE的长．

Answer

（1）由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠CED=∠A（或∠CDE=∠B），又有∠C=∠C，故△CDE∽△CBA．
（2）连接AE．
由（1）中△CDE∽△CBA得DE：BA=CE：CA，由于直径对的圆周角是直角，有∠AEB=∠AEC=90°；
在Rt△AEC中，有∠C=60°，∠CAE=30°．则DE：BA=CE：CA=1：2，即DE=2．
（1）证明：∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，
∴∠CED=∠A（或∠CDE=∠B）；
又∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA．

（2）解法1：连接AE．
由（1）得，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°．
在Rt△AEC中，∵∠C=60°，∴∠CAE=30°；
∴，即DE=2．

解法2：连接DO，EO．
∵AO=DO=OE=OB，
∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB；
∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠CED，∠B=∠CDE；
而∠CDE+∠CED=120°，∠A+∠B+∠ADE+∠DEB=360°，
∴∠ODE+∠OED=120°
则∠DOE=60°，
∴△ODE为等边三角形；
∴DE=OB=2．